Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
4.
\begin{array}{r} f(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}}{3 x-8} \\\ f(x)=\frac{4-x}{5-x^{2}} \end{array}

Passo 1

Resumimos o enunciado: calcular as derivadas de
f_1(x)=\frac{x^3-2x^2}{3x-8}
e
f_2(x)=\frac{4-x}{5-x^2}.
O conteúdo usado será a regra do quociente, que afirma que, para funções u(x) e v(x),
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Passo 2

Seja u_1(x)=x^3-2x^2 e v_1(x)=3x-8. Então
u_1'(x)=3x^2-4x,
v_1'(x)=3.
Aplicando a regra do quociente a f_1(x)=u_1/v_1, obtemos
f_1'(x)=\frac{(3x^2-4x)(3x-8) - (x^3-2x^2)\cdot3}{(3x-8)^2}.
Expandindo e simplificando o numerador:
(3x^2-4x)(3x-8)=9x^3 -36x^2 +32x,
3(x^3-2x^2)=3x^3 -6x^2,
\text{num} = 9x^3 -36x^2 +32x - (3x^3 -6x^2) = 6x^3 -30x^2 +32x.
Portanto,
f_1'(x)=\frac{6x^3 -30x^2 +32x}{(3x-8)^2}.

Passo 3

Seja u_2(x)=4-x e v_2(x)=5-x^2. Então
u_2'(x)=-1,
v_2'(x)=-2x.
Pela regra do quociente em f_2(x)=u_2/v_2:
f_2'(x)=\frac{-1\cdot(5-x^2) - (4-x)\cdot(-2x)}{(5-x^2)^2} = \frac{-5 + x^2 +2x(4-x)}{(5-x^2)^2}.
Expandindo:
2x(4-x)=8x -2x^2,
\text{num} = -5 + x^2 +8x -2x^2 = -x^2 +8x -5.
Logo,
f_2'(x)=\frac{-x^2 +8x -5}{(5-x^2)^2}.

Resposta

f_1'(x)=\frac{6x^3 -30x^2 +32x}{(3x-8)^2},\quad f_2'(x)=\frac{-x^2 +8x -5}{(5-x^2)^2}.

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