Calcule as transformadas de Laplace
L\left(e^{-3 t} \operatorname{sen} 5 t\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \displaystyle e^{-3t}\sin5t. O conteúdo principal é a propriedade de deslocamento no domínio de s (Teorema do deslocamento) e a transformada básica de \sin.

Passo 2

Primeiro lembramos que a transformada de Laplace de \sin5t é
\mathcal{L}\{\sin5t\}(s)=\frac{5}{s^2+25}.

Passo 3

Agora usamos o Teorema do deslocamento: se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a).
Aqui a=-3 e f(t)=\sin5t, logo
\mathcal{L}\{e^{-3t}\sin5t\}(s) =\frac{5}{(s-(-3))^2+25} =\frac{5}{(s+3)^2+25}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-3t}\sin5t\}(s)=\frac{5}{(s+3)^2+25}.

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