Calcule as transformadas de Laplace
L\left(e^{6 t} t^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de e^{6t}t^{4}. O conteúdo é transformada de Laplace, em particular a fórmula para potências t^{n} e a propriedade de deslocamento exponencial no domínio de s.

Passo 2

A transformada de Laplace de t^{n} (para n inteiro não-negativo) é
L\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}},
válida para \Re(s)>0. No nosso caso n=4, logo
L\{t^{4}\}=\frac{4!}{s^{5}}=\frac{24}{s^{5}}.

Passo 3

A propriedade de deslocamento exponencial diz que, se L\{f(t)\}=F(s), então
L\{e^{a t}f(t)\}=F(s - a).
Aplicando com a=6 e f(t)=t^{4}, obtemos
L\{e^{6t}t^{4}\}=\frac{24}{(s-6)^{5}},
válido para \Re(s)>6.

Resposta

L\{e^{6t}t^{4}\}=\frac{24}{(s-6)^{5}}
para \Re(s)>6.

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