Determine o volume do sólido limitado pelo planos coordenados do primeiro octante e o plano ) u.v.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume do sólido no primeiro octante (onde x≥0, y≥0, z≥0) limitado pelo plano x+y+z=3. O conteúdo envolve cálculo de volume usando integrais triplas (ou, alternativamente, a fórmula de volume de um tetraedro), e vamos precisar montar os limites de integração para x, y e z.

Passo 2

Para usar integrais triplas, reconhecemos que, para cada par (x,y) no triângulo de base, z varia de 0 até 3 - x - y. Assim, podemos escrever
V = integralx=0^3 integraly=0^3 - x integralz=0^3 - x - y dz,dy,dx

Passo 3

Começamos calculando a integral interna em z:
integral0^3 - x - y dz = 3 - x - y
Substituindo na integral dupla de y e x:
V = integral0^3 integral0^3 - x (3 - x - y) ,dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^3 - x (3 - x - y) ,dy = l[(3 - x)y - tfracy^22r]0^3 - x = (3 - x)^2 - tfrac(3 - x)^22 = tfrac(3 - x)^22

Passo 5

Falta apenas a integral em x:
V = integral0^3 tfrac(3 - x)^22 ,dx = tfrac12 integral0^3 (3 - x)^2 ,dx
Como integral0^3 (3 - x)^2 dx = integral0^3 u^2 du = l[tfracu^33r]0^3 = tfrac273 = 9, temos
V = tfrac12 cdot 9 = tfrac92

Passo 6

Essa é exatamente a resposta esperada, confirmando que o volume do tetraedro é tfrac92 unidades de volume.

Resposta

tfrac92

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