integral x^2 sen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2sin(x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, e vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du. Nesta primeira aplicação escolhemos
u = x^2, dv = sin(x),dx
Calculamos
du = 2x,dx, v = -cos(x)
Então
integral x^2sin(x),dx = x^2(-cos(x)) - integral (-cos(x))cdot(2x),dx = -x^2cos(x) + 2integral xcos(x),dx

Passo 3

Para integrar integral xcos(x),dx usamos integração por partes de novo. Agora tomamos
$$u = x, \quad dv = \cos(x),dx.
u = x, dv = cos(x),dx du = dx, \quad v = \sin(x).
du = dx, v = sin(x) \int x\cos(x),dx = x\sin(x) - \int 1\cdot\sin(x),dx = x\sin(x) + \cos(x).
integral xcos(x),dx = xsin(x) - integral 1cdotsin(x),dx = xsin(x) + cos(x) í2\int x\cos(x),dx = 2\bigl(x\sin(x) + \cos(x)\bigr) = 2x\sin(x) + 2\cos(x).
$$

Passo 4

Juntando tudo, obtemos
$$\int x^{2}\sin(x),dx = -x^{2}\cos(x) + \bigl(2x\sin(x) + 2\cos(x)\bigr) + C.
$$

Passo 5

Acabou!

Resposta

-x^{2}\cos(x) + 2x\sin(x) + 2\cos(x) + C

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