Um fluido estático apresenta uma relação linear entre a pressão e o quadrado da densidade (ou seja p / \rho^{2}= constante). Obtenha a distribuição de pressões neste fluido sabendo que \mathbf{g}=g \mathbf{j} e que, na origem, a pressão é p_{0} e a densidade é \rho_{0}.

Passo 1

O enunciado trata de um fluido em equilíbrio estático sob aceleração gravitacional \mathbf{g}=g\,\mathbf{j} e estabelece que
\frac{p}{\rho^2}=\text{constante}.
Precisamos usar a equação do equilíbrio hidrostático
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = -\,\rho\,g
e a relação p/\rho^2=C para determinar p(y), sabendo que em y=0 temos p(0)=p_0 e \rho(0)=\rho_0.

Passo 2

Da relação p/\rho^2=C obtemos
p = C\,\rho^2,
e usando a condição inicial em y=0 segue
C = \frac{p_0}{\rho_0^2}.

Passo 3

Aplicamos a equação do equilíbrio hidrostático e escrevemos
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigl(C\,\rho^2\bigr) = 2\,C\,\rho\,\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}y}
e igualamos a -\rho\,g, o que dá
2\,C\,\rho\,\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}y} = -\,\rho\,g \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}y} = -\,\frac{g}{2\,C}.

Passo 4

Integramos o EDO para \rho(y):
\int_{\rho_0}^{\rho(y)}\!\mathrm{d}\rho = -\frac{g}{2\,C}\int_{0}^{y}\!\mathrm{d}y \quad\Longrightarrow\quad \rho(y) = \rho_0 - \frac{g}{2\,C}\,y.

Passo 5

Finalmente, voltamos a p(y)=C\,\rho(y)^2. Substituindo \rho(y) e C=p_0/\rho_0^2 obtemos
p(y) = C\Bigl(\rho_0 - \tfrac{g}{2\,C}y\Bigr)^2 = \frac{p_0}{\rho_0^2}\,\biggl(\rho_0 - \frac{g\,\rho_0^2}{2\,p_0}\,y\biggr)^{\!2} = p_0\Bigl(1 - \frac{g\,\rho_0}{2\,p_0}\,y\Bigr)^{\!2}.

Resposta

\rho(y)=\rho_0 - \frac{g}{2\,C}\,y \quad\text{e}\quad p(y)=p_0\Bigl(1 - \frac{g\,\rho_0}{2\,p_0}\,y\Bigr)^{\!2},
onde C = p_0/\rho_0^2.

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