Pesquisar para saber o que é um toro de revolução, esboçar seu gráfico ilustrativo e formular o cálculo do seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir o que é um toro de revolução, desenhar como ele fica e calcular o volume dele. Estamos trabalhando com geometria 3D aqui, então vamos precisar entender um pouco sobre superfícies de revolução e como elas funcionam para chegar ao volume do toro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um toro de revolução. Imagina que você tem um círculo e o gira em torno de um eixo que está no mesmo plano do círculo, mas que não passa pelo centro dele. Esse movimento de rotação gera uma superfície chamada toro. É aquele formato de “rosquinha”, sabe?
Passo 3
Agora, para desenhar o gráfico do toro, pensa em um círculo central (que vai se tornar o “buraco” da rosquinha) e um círculo menor que vai girar ao redor desse eixo central. Quando o círculo menor gira 360 graus, ele forma todo o toro. Infelizmente, não posso desenhar aqui, mas você pode imaginar uma rosquinha ou uma rosca de pão para ter uma ideia visual.
Passo 4
Vamos falar sobre o cálculo do volume do toro. Para isso, usamos o método dos discos ou anéis na integração. Primeiro, precisamos identificar duas medidas importantes:
-
: a distância do centro do toro até o centro do círculo que está girando (basicamente, o “raio maior”). -
: o raio do círculo que está girando (o “raio menor”).
Passo 5
A fórmula para calcular o volume
do toro é dada por:
Essa fórmula vem da integração envolvendo as áreas dos discos formados durante a rotação do círculo menor ao redor do eixo.
Passo 6
Explicando um pouco mais, o volume do toro é como se a área do círculo menor (
) fosse “carregada” ao longo do caminho circular que tem perímetro
. Multiplicando essas duas quantidades, temos o volume total do toro.
Resposta
Então, o volume do toro de revolução é:
Onde:
-
é a distância do centro do toro ao centro do círculo girante. -
é o raio do círculo que está girando.