Suponha que a equação
define implicitamente uma função derivável
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que a equação
define uma função derivável
. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para isso, vamos usar o seguinte conteúdo:
- Derivação implícita: uma técnica para encontrar a derivada quando
está definida de forma implícita em termos de . - Cálculo de derivadas: aplicaremos regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Isso nos ajuda a lidar com as potências de forma mais simples.
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar ambos os lados:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então precisaremos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar
. Vamos reorganizar os termos:
Fatorando
:
Então, a derivada
é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
no ponto
. Substituindo
e
na expressão:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Ou simplificando: