Suponha que a equação x^y = y^x define implicitamente uma função derivável y = f(x). Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que a equação define uma função derivável . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos usar o seguinte conteúdo:
  • Derivação implícita: uma técnica para encontrar a derivada quando está definida de forma implícita em termos de .
  • Cálculo de derivadas: aplicaremos regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Isso nos ajuda a lidar com as potências de forma mais simples.

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar ambos os lados:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então precisaremos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar . Vamos reorganizar os termos:
Fatorando :
Então, a derivada é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar no ponto . Substituindo e na expressão:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:
Ou simplificando:

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