Fixados
e
em
, considere o conjunto
das sequências
da forma
onde
e
são dados em
.
é chamada sequência recorrente de grau 2 .
(a) Mostre que
é um subespaço de dimensão 2 do espaço vetorial
formado pelas sequencias de números reais.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas constantes reais,
e
(com
), e estamos olhando para sequências que seguem a relação de recorrência de grau 2:
Aqui,
e
são os primeiros termos dados da sequência. Queremos mostrar que o conjunto
dessas sequências forma um subespaço vetorial de dimensão 2 no espaço
das sequências de números reais. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, sequências de números reais) que podem ser somados entre si e multiplicados por escalar, respeitando certas propriedades (como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.).
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subespaço de
, precisamos verificar três coisas:
- Não vazio: O subespaço contém pelo menos o vetor zero.
- Fechado sob adição: Se você pegar duas sequências em
e somar termo a termo, o resultado também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma sequência em
por um número real, o resultado também está em .
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
- Não vazio: A sequência onde todos os termos são zero (chamada de vetor zero) satisfaz a relação
para todo , então o vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se temos duas sequências
e em , então para todo :
Isso mostra que a soma das duas sequências também satisfaz a relação de recorrência, ou seja, está em
.
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos uma sequência em
e um escalar
, então para todo
:
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos uma sequência
Isso mostra que a sequência multiplicada por
também satisfaz a relação de recorrência, ou seja, está em
.
Passo 5
Agora que vimos que
é um subespaço, precisamos determinar sua dimensão, que é o número de vetores em uma base desse subespaço. Aqui, as sequências são totalmente determinadas pelos seus primeiros dois termos
e
. Isso significa que qualquer sequência em
pode ser construída a partir de combinações lineares desses dois termos iniciais.
Passo 6
Como
e
são livres (não são combinações um do outro, já que são dados independentemente), eles formam uma base para
. Portanto, a dimensão de
é 2.
Resposta
Assim,
é um subespaço vetorial de
com dimensão 2.