Fixados r e s em R, s != 0, considere o conjunto S2 das sequências f_n da forma
f_n = r f_{n-1} + s f_{n-2}, n ≥ 3
onde f1 e f2 são dados em R. f_n é chamada sequência recorrente de grau 2 .
(a) Mostre que S2 é um subespaço de dimensão 2 do espaço vetorial V formado pelas sequencias de números reais.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas constantes reais, e (com ), e estamos olhando para sequências que seguem a relação de recorrência de grau 2:
Aqui, e são os primeiros termos dados da sequência. Queremos mostrar que o conjunto dessas sequências forma um subespaço vetorial de dimensão 2 no espaço das sequências de números reais. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, sequências de números reais) que podem ser somados entre si e multiplicados por escalar, respeitando certas propriedades (como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.).

Passo 3

Agora, para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar três coisas:
  1. Não vazio: O subespaço contém pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas sequências em e somar termo a termo, o resultado também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma sequência em por um número real, o resultado também está em .

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
  1. Não vazio: A sequência onde todos os termos são zero (chamada de vetor zero) satisfaz a relação para todo , então o vetor zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se temos duas sequências e em , então para todo :
Isso mostra que a soma das duas sequências também satisfaz a relação de recorrência, ou seja, está em .
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos uma sequência em e um escalar , então para todo :
Isso mostra que a sequência multiplicada por também satisfaz a relação de recorrência, ou seja, está em .

Passo 5

Agora que vimos que é um subespaço, precisamos determinar sua dimensão, que é o número de vetores em uma base desse subespaço. Aqui, as sequências são totalmente determinadas pelos seus primeiros dois termos e . Isso significa que qualquer sequência em pode ser construída a partir de combinações lineares desses dois termos iniciais.

Passo 6

Como e são livres (não são combinações um do outro, já que são dados independentemente), eles formam uma base para . Portanto, a dimensão de é 2.

Resposta

Assim, é um subespaço vetorial de com dimensão 2.

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