Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos (c, f(c)), (d, f(d)) e (e, f(e)). Suponha que c < d < e.
f'(c) = 0 ; f'(d) = -1 ; f''(d) = 0 ; f'(e) = 0 ; f''(e) = 0 ; f''(x) < 0 se x < d;
f''(x) > 0 se d<x<e ; f''(x)<0 se x > e

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o esboço do gráfico de uma função que passa por três pontos específicos: , e , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas primeiras e segundas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em cada ponto e entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as derivadas primeiras, que nos dizem sobre a inclinação da curva em cada ponto:
  • Em , temos . Isso significa que a tangente à curva nesse ponto é horizontal.
  • Em , . Aqui, a inclinação é negativa, ou seja, a curva está descendo.
  • Em , de novo, indicando outra tangente horizontal.

Passo 3

Agora, vamos analisar as derivadas segundas, que nos dizem sobre a concavidade da curva:
  • Em , . Isso pode indicar um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.
  • Em , , possivelmente outro ponto de inflexão.
  • Para os intervalos:
    • Se , : a curva é côncava para baixo.
    • Se , : a curva é côncava para cima.
    • Se , novamente: a curva volta a ser côncava para baixo.

Passo 4

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  1. Ponto : Como e para , temos um ponto onde a curva tem uma tangente horizontal e está côncava para baixo.
  2. Entre e : A curva permanece côncava para baixo, mas a inclinação da tangente está decrescendo até chegar a .
  3. Ponto : Com e , a curva pode mudar sua concavidade aqui, passando de côncava para baixo para côncava para cima.
  4. Entre e : A curva é côncava para cima, e a inclinação indica que a curva está subindo até chegar a .
  5. Ponto : Novamente, temos uma tangente horizontal e, como e para , a curva muda para côncava para baixo.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta:
  • Tangentes horizontais nos pontos e .
  • Inclinação negativa no ponto , indicando que a curva está descendo nesse ponto.
  • Mudanças na concavidade:
    • Côncava para baixo antes de .
    • Côncava para cima entre e .
    • Volta a ser côncava para baixo após .
Visualmente, a curva começa com uma tangente horizontal em , desce até com concavidade para baixo, muda para concavidade para cima até , e finalmente retorna a concavidade para baixo após . Essa combinação de tangentes horizontais e mudanças na concavidade ajuda a definir a forma geral do gráfico da função .

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