Faça um esboço do gráfico de uma função
que passa pelos pontos
. Suponha que
.
se
;
se
se
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o esboço do gráfico de uma função
que passa por três pontos específicos:
,
e
, onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas primeiras e segundas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em cada ponto e entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as derivadas primeiras, que nos dizem sobre a inclinação da curva em cada ponto:
- Em
, temos . Isso significa que a tangente à curva nesse ponto é horizontal. - Em
, . Aqui, a inclinação é negativa, ou seja, a curva está descendo. - Em
, de novo, indicando outra tangente horizontal.
Passo 3
Agora, vamos analisar as derivadas segundas, que nos dizem sobre a concavidade da curva:
- Em
, . Isso pode indicar um ponto de inflexão, onde a concavidade muda. - Em
, , possivelmente outro ponto de inflexão. - Para os intervalos:
- Se
, : a curva é côncava para baixo. - Se
, : a curva é côncava para cima. - Se
, novamente: a curva volta a ser côncava para baixo.
- Se
Passo 4
Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
-
Ponto
: Como e para , temos um ponto onde a curva tem uma tangente horizontal e está côncava para baixo. -
Entre
e : A curva permanece côncava para baixo, mas a inclinação da tangente está decrescendo até chegar a . -
Ponto
: Com e , a curva pode mudar sua concavidade aqui, passando de côncava para baixo para côncava para cima. -
Entre
e : A curva é côncava para cima, e a inclinação indica que a curva está subindo até chegar a . -
Ponto
: Novamente, temos uma tangente horizontal e, como e para , a curva muda para côncava para baixo.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta:
- Tangentes horizontais nos pontos
e . - Inclinação negativa no ponto
, indicando que a curva está descendo nesse ponto. - Mudanças na concavidade:
- Côncava para baixo antes de
. - Côncava para cima entre
e . - Volta a ser côncava para baixo após
.
- Côncava para baixo antes de
Visualmente, a curva começa com uma tangente horizontal em
, desce até
com concavidade para baixo, muda para concavidade para cima até
, e finalmente retorna a concavidade para baixo após
. Essa combinação de tangentes horizontais e mudanças na concavidade ajuda a definir a forma geral do gráfico da função
.