Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial:
\sqrt{2030}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt{2030} usando a ideia de diferenciais (linearização). O conteúdo é derivada de funções e diferencial, e vamos precisar de f(x)=\sqrt{x}, sua derivada e um ponto a próximo de 2030 onde a raiz seja conhecida.

Passo 2

Definimos f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. A derivada é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Escolhemos a=2025, pois \sqrt{2025}=45 é exato. Logo \Delta x = 2030-2025=5.

Passo 3

Pela diferencial, \Delta y\approx f'(a)\,\Delta x. Temos
f'(2025)=\frac{1}{2\cdot45}=\frac{1}{90},
então
\Delta y\approx \frac{1}{90}\cdot 5 = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}\approx 0,0556.

Passo 4

Aproximamos \sqrt{2030} por
f(2030)\approx f(2025)+\Delta y = 45 + 0,0556 = 45,0556.

Resposta

\sqrt{2030}\approx 45,0556

Exercícios relacionados