Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial:
\sqrt[3]{999,9}

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para \sqrt[3]{999,9} usando diferencial (ou linearização). O conteúdo é aplicar a fórmula
f(x+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\,\Delta x
para a função f(x)=x^{1/3}.

Passo 2

Definimos f(x)=x^{1/3}. A derivada é
f'(x)=\frac{1}{3\,x^{2/3}}.
Na fórmula de linearização, tomamos um ponto a próximo de x cujo valor de f(a) conhecemos exatamente.

Passo 3

Escolhemos a=1000, pois \sqrt[3]{1000}=10 é exato. Então
\Delta x = 999,9-1000 = -0,1
e
f(a)=f(1000)=10.

Passo 4

Calculamos
f'(1000)=\frac{1}{3\cdot1000^{2/3}} =\frac{1}{3\cdot100} =\frac{1}{300}\approx0,00333.
Logo a variação aproximada é
\Delta f=f'(1000)\,\Delta x =\frac{1}{300}\times(-0,1) =-0,000333\ldots

Passo 5

Pelo linearização,
\sqrt[3]{999,9}=f(1000+\Delta x)\approx f(1000)+\Delta f =10-0,000333\ldots =9,999667\ldots

Resposta

Aproximadamente 9,99967.

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