Um objeto se move segundo a função horária S(t)=10+2 t+3 t^{2}, onde S é a posição em metros e t é o tempo em segundos.
a) Qual a taxa de variação da posição em relação ao tempo quando t=5 \mathrm{~s} ?
b) Qual a taxa de variação média da posição em relação ao tempo quando t varia de 0 a 5 s?

Passo 1

O enunciado dá a função horária
S(t)=10+2\,t+3\,t^{2}
onde S é a posição (em metros) em função do tempo t (em segundos).
a) Pede a taxa de variação instantânea de S em t=5, ou seja, a derivada S'(t) avaliada em 5.
b) Pede a taxa de variação média de S no intervalo de t=0 até t=5, ou seja,
\frac{S(5)-S(0)}{5-0}.

Passo 2

Para achar a taxa de variação instantânea calculamos a derivada de S(t). Como
S(t)=10+2\,t+3\,t^{2},
usamos as regras de derivação termo a termo: a constante some zero, a derivada de 2\,t é 2 e a de 3\,t^{2} é 6\,t. Logo,
S'(t)=2+6\,t.

Passo 3

Agora avaliamos S'(t) em t=5:
S'(5)=2+6\cdot5=2+30=32.
Portanto, a taxa de variação instantânea em t=5 é 32 metros por segundo.

Passo 4

Para a taxa de variação média usamos
\frac{S(5)-S(0)}{5-0}.
Calculando
S(5)=10+2\cdot5+3\cdot5^{2}=10+10+75=95,
S(0)=10+2\cdot0+3\cdot0^{2}=10.
Logo,
\frac{S(5)-S(0)}{5-0}=\frac{95-10}{5}=\frac{85}{5}=17.
Assim, a taxa média de variação no intervalo de 0 a 5 segundos é 17 metros por segundo.

Resposta

(a) 32 m/s
(b) 17 m/s

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