Calcule as integrais: (3 pontos)
\int_{1}^{4} \int_{0}^{2}\left(6 x^{2}-2\right) d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{4}\int_{0}^{2}\bigl(6x^{2}-2\bigr)\,dy\,dx.
Aqui o conteúdo é integração iterada em duas variáveis. Como o integrando não depende de y, vamos primeiro integrar em y e depois em x.

Passo 2

Calculando a integral interna em y:
\int_{0}^{2}\bigl(6x^{2}-2\bigr)\,dy = (6x^{2}-2)\int_{0}^{2}dy = (6x^{2}-2)\cdot 2 = 12x^{2}-4.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{1}^{4}(12x^{2}-4)\,dx.
Uma primitiva de 12x^{2}-4 é
4x^{3}-4x,
pois \frac{d}{dx}(4x^{3})=12x^{2} e \frac{d}{dx}(-4x)=-4.

Passo 4

Avaliaremos de 1 a 4:
\bigl[4x^{3}-4x\bigr]_{1}^{4} = \bigl(4\cdot4^{3}-4\cdot4\bigr)-\bigl(4\cdot1^{3}-4\cdot1\bigr) = (256-16)-(4-4) =240-0 =240.

Resposta

240

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