Determine a menor distância entre (2,0,-3) e x+y+z=2. ( 2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede a menor distância entre o ponto P=(2,0,-3) e o plano definido por
x + y + z = 2.
Este é um problema de geometria analítica que usa a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Vamos colocar a equação do plano em forma padrão
x + y + z - 2 = 0,
de modo que os coeficientes sejam a=1, b=1, c=1 e o termo constante D=-2. O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c)=(1,1,1).

Passo 3

A fórmula da distância de P=(x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+D=0 é
d = \frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + D\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
Substituindo x_0=2, y_0=0, z_0=-3, a=b=c=1 e D=-2:
d = \frac{\bigl|1\cdot 2 + 1\cdot 0 + 1\cdot(-3) - 2\bigr|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\lvert 2 - 3 - 2\rvert}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.

Resposta

A menor distância é \sqrt{3}.

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