Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \sin ^{3} 2 \theta \cos ^{4} 2 \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{3}(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo aqui é a técnica de integrar potências de seno e cosseno, aproveitando que o expoente de seno é ímpar.

Passo 2

Como o expoente de \sin é ímpar, escrevemos
\sin^{3}(2\theta)=\sin^{2}(2\theta)\,\sin(2\theta)
e usamos a identidade \sin^{2}(2\theta)=1-\cos^{2}(2\theta). Assim,
\sin^{3}(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta) =(1-\cos^{2}(2\theta))\,\cos^{4}(2\theta)\,\sin(2\theta).

Passo 3

Fazemos a substituição u=\cos(2\theta). Então
du=-2\,\sin(2\theta)\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin(2\theta)\,d\theta=-\tfrac{1}{2}\,du.
A integral fica
\int (1-u^{2})\,u^{4}\,\sin(2\theta)\,d\theta =-\tfrac{1}{2}\int (1-u^{2})\,u^{4}\,du.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(1-u^{2})\,u^{4}=u^{4}-u^{6},
logo
-\tfrac{1}{2}\int (u^{4}-u^{6})\,du =-\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}\Bigr) =-\frac{u^{5}}{10}+\frac{u^{7}}{14}+K.

Passo 5

Voltando a u=\cos(2\theta), obtemos
\int \sin^{3}(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{14}\cos^{7}(2\theta)-\frac{1}{10}\cos^{5}(2\theta)+C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{14}\cos^{7}(2\theta)-\frac{1}{10}\cos^{5}(2\theta)+C.}

Exercícios relacionados