Calcular um valor aproximado usando diferencial.
raiz[4]81,5

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação de raiz[4]81,5 usando diferencial (aproximação linear). O conteúdo é derivada de potência e fórmula da diferencial de função. Vamos usar f(x)=x^1/4 e expandir em torno de um ponto próximo de 81,5.

Passo 2

Escolhemos a=81, pois 81=3^4 e sabemos exatamente raiz[4]81=3. Definimos
f(x)=x^1/4,
logo f(a)=f(81)=3.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=14,x^-3/4

Passo 4

Avaliamo-la em x=a=81:
f'(81)=14,81^-3/4 =14l(81^1/4r)^-3 =14cdot3^-3 =14cdot127 =1108

Passo 5

Temos dx=81,5-81=0,5. Pela fórmula da diferencial,
f(81,5)approx f(81)+f'(81),dx =3+1108cdot0,5 =3+0,5108 =3+1216 approx3+0,00463 =3,00463

Resposta

Aproximadamente raiz[4]81,5approx3,0046.

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