Calcule a integral iterada.
integral0^raizpi integral0^x integral0^x x^2 sen y d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^raizpiintegral0^xintegral0^xx^2sen y;dy;dz;dx
O conteúdo é integração iterada e vamos usar, em sequência, integração direta em y, depois em z (que funciona como fator constante) e, por fim, ficará uma integral em x que exigirá integração por partes.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral0^xx^2sen y,dy =x^2integral0^xsen y,dy =x^2l[-cos yr]0^x =x^2l(1-cos xr)

Passo 3

Agora integramos em z de 0 a x. Como o resultado do passo anterior não depende de z, basta multiplicar por x:
integral0^xx^2(1-cos x),dz =xcdot x^2(1-cos x) =x^3(1-cos x)

Passo 4

Fica então
integral0^raizpix^3(1-cos x),dx =integral0^raizpix^3,dx ;-;integral0^raizpix^3cos x,dx
  1. A primeira é direta:
integral0^raizpix^3,dx =l[x^44r]0^raizpi =(raizpi)^44 =pi^24
  1. A segunda usamos partes repetidas. Seja
I=integral x^3cos x,dx
Escolhendo u=x^3, dv=cos x,dx ( du=3x^2dx, v=sen x), obtém-se
I =x^3sen x -3integral x^2sen x,dx
Para integral x^2sen x,dx fazemos outra parte: u1=x^2, dv1=sen x,dx ( du1=2x,dx, v1=-cos x):
integral x^2sen x,dx =-x^2cos x +2integral xcos x,dx
E ainda integral xcos x,dx por partes: u2=x, dv2=cos x,dx ( du2=dx, v2=sen x):
integral xcos x,dx =xsen x -integralsen x,dx =xsen x+cos x
Juntando tudo:
integral x^2sen x,dx =-x^2cos x +2l(xsen x+cos xr) =-x^2cos x+2xsen x+2cos x,
I =x^3sen x -3l(-x^2cos x+2xsen x+2cos xr) =x^3sen x+3x^2cos x-6xsen x-6cos x
Logo, em termos de integral definida,
integral0^raizpix^3cos x,dx =l[x^3sen x+3x^2cos x-6xsen x-6cos xr]0^raizpi
=(pi^3/2senraizpi+3picosraizpi-6raizpisenraizpi-6cosraizpi) -(-6)
=pi^3/2senraizpi+3picosraizpi-6raizpisenraizpi-6cosraizpi+6

Passo 5

Substituindo na diferença do passo 4:
integral0^raizpix^3(1-cos x),dx =pi^24 -l(pi^3/2senraizpi+3picosraizpi-6raizpisenraizpi-6cosraizpi+6r)

Resposta

boxed pi^24 -pi^3/2senraizpi -3picosraizpi +6raizpi,senraizpi +6cosraizpi -6

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