Calcular um valor aproximado usando diferencial.
sen(8 pi45)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de
sin!l(8pi45r)
usando diferencial. O conteúdo aqui é a linearização (diferencial) de funções trigonométricas: se f(x)=sin(x), então em torno de um ponto x0 temos
f(x)approx f(x0)+f'(x0),(x-x0)

Passo 2

Escolhemos um ponto x0 próximo de tfrac8pi45 onde sin seja simples de calcular. Note que
8pi45approx0,5585,
e pi/6approx0,5236. Como sin(pi/6)=tfrac12 e cos(pi/6)=tfracraiz32, fica natural tomar
x0 = pi6

Passo 3

Definimos De<a x = x - x0, isto é,
De<a x = 8pi45 - pi6
Calculando em radianos:
8pi45 = 8cdotpi45, pi6 = 7.5pi45,
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De<a x = 8pi45 - 7,5pi45 = 0,5pi45 = pi90 approx 0,0349

Passo 4

Aplicando a fórmula da reta tangente (linearização):
sin!l(8pi45r) approx sin!l(pi6r) + cos!l(pi6r),De<a x = 12 + raiz32cdotpi90
Agora, numericamente,
raiz32approx0,8660, pi90approx0,0349,
então
raiz32cdotpi90 approx 0,8660times0,0349 approx 0,0302
Portanto
sin!l(8pi45r) approx 0,5 + 0,0302 = 0,5302

Resposta

sin!l(8pi45r)approx0,53

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