A meia-vida do rádio-226 é de 1620 anos.
(a) Obtenha uma fórmula para a quantidade Q de rádio que resta após t anos, dado que a quantidade inicial é Q0.
(b) Que percentual da substância resta após 500 anos?

Passo 1

O enunciado diz que a meia-vida do rádio-226 é 1620 anos e pede:
(a) encontrar a fórmula para a quantidade Q que resta após t anos, sabendo que a quantidade inicial é Q0;
(b) calcular que percentual da substância resta após 500 anos. Vamos usar o modelo de decaimento exponencial.

Passo 2

No decaimento exponencial a quantidade obedece
Q(t)=Q0e^-k,t,
onde k é a constante de decaimento. A meia-vida T1/2 satisfaz Q(T1/2)=Q0/2, isto é,
e^-kT1/2=tfrac12
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, vem
-kT1/2=lntfrac12=-ln2
e portanto
k=ln2T1/2

Passo 3

Substituindo k=ln2/T1/2 em Q(t)=Q0e^-k,t obtém-se
Q(t) =Q0exp!l(-ln2T1/2,tr) =Q0,2^-t/T1/2
Como T1/2=1620, a fórmula final é
Q(t)=Q0,2^-,t/1620

Passo 4

O percentual restante após t=500 anos vale
Q(500)Q0times100% =2^-500/1620times100%
Para aproximar numericamente, note
2^-500/1620 =exp!l(-ln2cdottfrac5001620r) approxexp(-0,2138) approx0,8077,
logo multiplica por 100% e dá cerca de 80,77%.

Resposta

(a) Q(t)=Q0,2^-,t/1620
(b) Aproximadamente 80,77%.

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