Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinada por u=(2, -1, 1) e v=(1, -3, m) seja igual a 4raiz6.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que a área do paralelogramo gerado por vec u=(2,-1,1) e vec v=(1,-3,m) seja 4raiz6. Em R^3, essa área é dada pela norma do produto vetorial |vec utimesvec v|.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial usando a definição
vec u times vec v = l(u2 v3 - u3 v2,;u3 v1 - u1 v3,;u1 v2 - u2 v1r)
Substituindo u1=2, u2=-1, u3=1 e v1=1, v2=-3, v3=m, obtemos
vec u times vec v = l((-1),m - 1cdot(-3),;1cdot1 - 2,m,;2cdot(-3)-(-1)cdot1r) = (3 - m,;1 - 2m,;-5)

Passo 3

A norma desse vetor é
|vec u times vec v| =raiz(3-m)^2 + (1-2m)^2 + (-5)^2 =raiz(3-m)^2 + (1-2m)^2 + 25
Queremos |vec u times vec v|=4raiz6, então
raiz(3-m)^2 + (1-2m)^2 + 25 = 4raiz6

Passo 4

Elevando ao quadrado e simplificando:
(3-m)^2 + (1-2m)^2 + 25 = 16cdot6 = 96
(m-3)^2 + (2m-1)^2 + 25 = 96 ;Longrightarrow; 5m^2 -10m +35 = 96 ;Longrightarrow; 5m^2 -10m -61 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
m = 10 pm raiz(-10)^2 - 4cdot5cdot(-61)2cdot5 = 10 pm raiz100 +122010 = 10 pm raiz132010 = 1 pm raiz3305

Resposta

m = 1 pm dfracraiz3305

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