Dado A=|llx & y 2 & 0|, tem-se que det(A)=det(B), onde B=adj(A^T ), sendo P=|ll0 & 1 1 & 0| a matriz de permutação.
a. Prove que det(A)=det(B).
b. Determine x e y sabendo que Tr(B)=3 e y=4 x.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = x & y 2 & 0,
define
B = adjl(A^Tr)
e pede:
a) provar que det(A)=det(B),
b) sabendo que Tr(B)=3 e y=4x, determinar x e y.
Vamos usar a teoria de matrizes adjuntas e determinantes em dimensão 2.

Passo 2

Para qualquer matriz quadrada M de ordem n vale a identidade
detl(adj(M)r) = l(det(M)r)^,n-1
No nosso caso n=2 e M = A^T. Assim
det(B) = detl(adj(A^T)r) = l(det(A^T)r)^2-1 = det(A^T) = det(A),
já que det(A^T)=det(A). Isso prova a letra (a).

Passo 3

Para facilitar a parte (b), vamos escrever B e sua traça explicitamente.
Temos
A^T = x & 2 [6pt] y & 0,
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B = adj(A^T) = 0 & -2 [4pt] -,y & x
A traça de B é
Tr(B) = 0 + x = x
]

Passo 4

Da condição Tr(B)=3 obtemos
x = 3
Como y=4x, segue
y = 4 cdot 3 = 12

Resposta

x=3 e y=12.

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