Questão 1:
Determine a dimensão do subespaço de R^4 gerado pelos vetores v1=(1,2,3,2), v2=(0,1,1,0), v3=(2,0, 1,1), v4=(1,7,9,5).

Passo 1

A questão pede a dimensão do subespaço de R^4 gerado pelos vetores v1=(1,2,3,2), v2=(0,1,1,0), v3=(2,0,1,1) e v4=(1,7,9,5). Isso equivale a encontrar o número máximo de vetores linearmente independentes, ou seja, o posto da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores.

Passo 2

Vamos montar a matriz M cujas linhas são os vetores dados e aplicar eliminação de Gauss:
M= 1 & 2 & 3 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 & 1 1 & 7 & 9 & 5

Passo 3

Primeiro pivô em M11=1. Zera abaixo:
  • R3 R3-2R1
  • R4 R4-R1
    Obtemos
1 & 2 & 3 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & -4 & -5 & -3 0 & 5 & 6 & 3

Passo 4

Segundo pivô em M22=1. Zera abaixo:
  • R3 R3+4R2
  • R4 R4-5R2
    Fica
1 & 2 & 3 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & -3 0 & 0 & 1 & 3

Passo 5

Terceiro pivô em M33=-1. Zera abaixo:
  • Multiplica R3 por -1 para facilitar
  • R4 R4-R3
    Então a última linha fica nula, restando três linhas não nulas, ou seja, três pivôs. Dessa forma, o posto de M é 3.

Resposta

3

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