Dadas as matrizes de ordem
, tal que
, determine
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar a matriz
de ordem
que satisfaz a equação:
onde
e
é a matriz identidade de ordem 2. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de matrizes inversas e adjuntas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Em muitas notações,
representa a matriz adjunta de
, que, para matrizes
, é igual ao determinante de
multiplicado pela matriz identidade. Então, calculamos a adjunta de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de
. Como
, temos:
Portanto:
Passo 4
Substituindo
de volta na equação original:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o inverso:
Passo 6
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Essa é uma equação quadrática em termos de
.
Passo 7
Vamos assumir que
é uma matriz escalar, ou seja,
, onde
é um número complexo. Substituindo na equação:
Como
não é a matriz zero, o que está dentro do parêntese deve ser igual a zero:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática para
:
Onde
é a unidade imaginária.
Resposta
As soluções para
são matrizes escalares dadas por: