Dadas as matrizes de ordem 2 times 2, tal que X=raiz2 A-tildeA X^-1, determine X, onde:
A=-1raiz2 I

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar a matriz X de ordem 2 times 2 que satisfaz a equação:
X = raiz2, A - tildeA X^-1
onde A = -1raiz2 I e I é a matriz identidade de ordem 2. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de matrizes inversas e adjuntas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tildeA . Em muitas notações, tildeA representa a matriz adjunta de A , que, para matrizes 2 times 2 , é igual ao determinante de A multiplicado pela matriz identidade. Então, calculamos a adjunta de A :
tildeA = det(A) cdot I

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de A . Como A = -1raiz2 I , temos:
det(A) = ( -1raiz2 )^2 = 12
Portanto:
tildeA = 12 I

Passo 4

Substituindo tildeA de volta na equação original:
X = raiz2, A - 12 I X^-1
Sabemos que A = -1raiz2 I , então substituindo:
X = raiz2 ( -1raiz2 I ) - 12 I X^-1 = -I - 12 X^-1

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
X + 12 X^-1 = -I
Multiplicando ambos os lados por X para eliminar o inverso:
X^2 + 12 I = -X

Passo 6

Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
X^2 + X + 12 I = 0
Essa é uma equação quadrática em termos de X .

Passo 7

Vamos assumir que X é uma matriz escalar, ou seja, X = x I , onde x é um número complexo. Substituindo na equação:
(x I)^2 + x I + 12 I = 0
x^2 I + x I + 12 I = 0
(x^2 + x + 12) I = 0
Como I não é a matriz zero, o que está dentro do parêntese deve ser igual a zero:
x^2 + x + 12 = 0

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática para x :
x = -1 pm raiz1 - 22 = -1 pm i2
Onde i é a unidade imaginária.

Resposta

As soluções para X são matrizes escalares dadas por:
X = -1 + i2, I e X = -1 - i2, I

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