Calcular o valor de d yd x, para o valor dado de x, nos seguintes casos:

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a derivada de y = x raiz3+2x no ponto x=3. O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Reescrevendo a função, temos
y = x (3+2x)^1/2
Vamos identificar u = x e v = (3+2x)^1/2.

Passo 3

A regra do produto diz que dydx = u'v + uv'. Como u = x, temos u' = 1.

Passo 4

Para v = (3+2x)^1/2 usamos a regra da cadeia:
v' = 12 (3+2x)^-1/2 cdot 2 = (3+2x)^-1/2

Passo 5

Substituindo em dydx = u'v + uv', obtemos
dydx = raiz3+2x + xraiz3+2x
Simplificando, ficamos com dydx = 3+3xraiz3+2x.

Passo 6

Avaliando em x=3, temos raiz3+2cdot3 = 3, logo
dydxg|x=3 = 3+3cdot33 = 123 = 4

Resposta

4

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