Nos Problemas 19-22, calcule
integralC y d x+x d y na curva dada, de (0,0) a (1,1).
C consiste nos segmentos de retas de (0,0) a (0,1) e de (0,1) a (1,1).

Passo 1

Resumo do enunciado: A gente precisa calcular a integral de linha integralC y,dx + x,dy ao longo da curva composta por dois segmentos: de (0,0) a (0,1) e em seguida de (0,1) a (1,1). O conteúdo aqui é integral de linha de uma forma diferencial, e vamos precisar parametrizar cada pedaço da curva.

Passo 2

Teoria e fórmula de parametrização: Se a curva C é dada por tmapsto (x(t),y(t)), tin[a,b], então a integral de linha integralC y,dx + x,dy = integrala^b l(y(t),x'(t) + x(t),y'(t)r),dt

Passo 3

Cálculo no primeiro segmento C1: para ir de (0,0) a (0,1) parametrizamos por gamma1(t)=(0,t), tin[0,1]. Então dx=0 e dy=dt. Substituindo, integralC1 y,dx + x,dy = integral0^1 l(tcdot0 + 0cdot1r),dt = 0

Passo 4

Cálculo no segundo segmento C2: para ir de (0,1) a (1,1) parametrizamos por gamma2(s)=(s,1), sin[0,1]. Aí dx=ds e dy=0. Logo, integralC2 y,dx + x,dy = integral0^1 l(1cdot1 + scdot0r),ds = integral0^1 ds = 1

Passo 5

Soma dos resultados: somando as integrais dos dois pedaços dá 0 + 1 = 1, que é o valor da integral ao longo de toda a curva.

Resposta

1

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