Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty (n!)^nn^4 n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série sumn=1^infty (n!)^nn^4 n em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, em particular o teste da raiz.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da raiz. Sejam an = (n!)^nn^4 n. O teste da raiz diz que avaliamos
L = limntoinfty raiz[n]an
Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, é inconclusivo.

Passo 3

Calculemos
raiz[n]an = raiz[n](n!)^nn^4 n = n!n^4
Agora estudamos o comportamento de bn = n!n^4 quando ntoinfty.

Passo 4

Para ver que bntoinfty, podemos usar o fato de que o fatorial cresce muito mais rápido que qualquer potência de n. Mais diretamente, observe o quociente
bn+1bn = (n+1)!(n+1)^4n!n^4 = (n+1),n^4(n+1)^4 = n^4(n+1)^3 sim n (ntoinfty),
o que vai a infty. Isso implica bntoinfty, logo
L = limntoinfty raiz[n]an = limntoinfty bn = infty >1

Passo 5

Como no teste da raiz temos L>1, concluímos que a série diverge. Não faz sentido falar em convergência condicional ou absoluta, pois os termos são todos positivos e a série não converge.

Resposta

Divergente

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