Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, em particular o teste da raiz.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da raiz. Sejam
. O teste da raiz diz que avaliamos
Se
, a série converge; se
, diverge; se
, é inconclusivo.
Passo 3
Calculemos
Agora estudamos o comportamento de
quando
.
Passo 4
Para ver que
, podemos usar o fato de que o fatorial cresce muito mais rápido que qualquer potência de
. Mais diretamente, observe o quociente
o que vai a
. Isso implica
, logo
Passo 5
Como no teste da raiz temos
, concluímos que a série diverge. Não faz sentido falar em convergência condicional ou absoluta, pois os termos são todos positivos e a série não converge.
Resposta
Divergente