Calcular o valor de d yd x, para o valor dado de x, nos seguintes casos:

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=raiz5-2x2x+1 no ponto x=1/2. O conteúdo envolve derivada de função composta (raiz) e aplicação da regra do quociente.

Passo 2

Calcular a derivada do numerador e do denominador separadamente. Definindo u(x)=raiz5-2x=(5-2x)^1/2, temos
u'(x)=tfrac12(5-2x)^-1/2cdot(-2)=-1raiz5-2x

Passo 3

Para o denominador v(x)=2x+1, a derivada é v'(x)=2.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
$$y’=\frac{v(x)u’(x)-u(x)v’(x)}{[v(x)]^2}
=\frac{(2x+1)\bigl(-\tfrac1{\sqrt{5-2x}}\bigr)-\sqrt{5-2x}\cdot2}{(2x+1)^2}.$$

Passo 5

Agora basta avaliar em x=1/2. Note que 5-2cdottfrac12=4 e raiz4=2, e ainda 2x+1=2. Substituindo:
y'l(tfrac12r)=2l(-tfrac12r)-2cdot22^2=-1-44=-54

Resposta

-5/4

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