Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
A série dada é , com . Vamos classificar sua convergência absoluta e condicional. Para isso precisaremos usar o teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste de condensação de Cauchy) e o teste de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Para estudar a convergência absoluta, consideramos a série com termos positivos:
Aplicamos o teste de condensação de Cauchy: definindo bn=1/(ln n)^p, a série sum bn converge se e somente se
Como 2^kk^p cresce geometricamente (razão ~2 > 1), essa série diverge. Logo a série de termos absolutos diverge para todo p>0, isto é, não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora, para a convergência condicional, note que temos uma série alternante de termos
bn = 1(ln n)^p
Observamos que:
bn>0 e bnto0 quando ntoinfty, pois ln ntoinfty.
bn é (eventualmente) monótono decrescente para n grande, já que ln n só aumenta.
Pelo teste de Leibniz para séries alternantes, essas duas condições bastam para garantir que
sumn=2^infty(-1)^n bn
converge.
Passo 4
Concluindo: a série não convergem absolutamente (diverge a série dos valores absolutos) mas convergem pela alternância de sinais e decaimento de bn. Portanto ela é condicionalmente convergente para todo p>0.