Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty (-1)^n(ln n)^p, p>0

Passo 1

A série dada é sumn=2^infty(-1)^n(ln n)^p, com p>0. Vamos classificar sua convergência absoluta e condicional. Para isso precisaremos usar o teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste de condensação de Cauchy) e o teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos a série com termos positivos:
sumn=2^infty|(-1)^n(ln n)^p| = sumn=2^infty1(ln n)^p
Aplicamos o teste de condensação de Cauchy: definindo bn=1/(ln n)^p, a série sum bn converge se e somente se
sumk=1^infty2^k b2^k = sumk=1^infty2^k1(ln(2^k))^p = sumk=1^infty2^k(kln 2)^p = 1(ln2)^psumk=1^infty2^kk^p
Como 2^kk^p cresce geometricamente (razão ~2 > 1), essa série diverge. Logo a série de termos absolutos diverge para todo p>0, isto é, não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora, para a convergência condicional, note que temos uma série alternante de termos
bn = 1(ln n)^p
Observamos que:
  1. bn>0 e bnto0 quando ntoinfty, pois ln ntoinfty.
  2. bn é (eventualmente) monótono decrescente para n grande, já que ln n só aumenta.
    Pelo teste de Leibniz para séries alternantes, essas duas condições bastam para garantir que
sumn=2^infty(-1)^n bn
converge.

Passo 4

Concluindo: a série não convergem absolutamente (diverge a série dos valores absolutos) mas convergem pela alternância de sinais e decaimento de bn. Portanto ela é condicionalmente convergente para todo p>0.

Resposta

Condicionalmente convergente para todo p>0.

Exercícios relacionados