Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:

Passo 1

O exercício pede para classificar a série sumn=1^infty(-1)^n(1+n^2)^p, com p>0. O conteúdo principal aqui é convergência absoluta (usando comparação com p-séries) e convergência de séries alternadas (teste de Leibniz).

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, olhamos para sumn=1^inftyl|anr|=sumn=1^infty1(1+n^2)^p. Para n grande, 1+n^2approx n^2, então o termo se comporta como 1/n^2p. Sabemos que a p-série sum1/n^q converge se e somente se q>1. Aqui q=2p, logo a série absoluta converge se 2p>1, ou seja, p>tfrac12. Se p<=tfrac12, diverge.

Passo 3

Para a série original (alternada), definimos an=1/(1+n^2)^p. Observamos que an>0, an+1 (função decrescente em n) e limntoinftyan=0. Pelo teste de Leibniz, isso garante que sum(-1)^n an converge para todo p>0.

Passo 4

Juntando os resultados: para p>tfrac12 a série converge absolutamente; para 0 ela não converge absolutamente mas, por ser alternada e satisfazer o teste de Leibniz, converge. Portanto, é condicional nesses casos.

Resposta

A série é absolutamente convergente se p>tfrac12 e condicionalmente convergente se 0.

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