Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
O exercício pede para classificar a série , com . O conteúdo principal aqui é convergência absoluta (usando comparação com p-séries) e convergência de séries alternadas (teste de Leibniz).
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, olhamos para . Para n grande, 1+n^2approx n^2, então o termo se comporta como 1/n^2p. Sabemos que a p-série sum1/n^q converge se e somente se q>1. Aqui q=2p, logo a série absoluta converge se 2p>1, ou seja, p>tfrac12. Se p<=tfrac12, diverge.
Passo 3
Para a série original (alternada), definimos an=1/(1+n^2)^p. Observamos que an>0, an+1 (função decrescente em n) e limntoinftyan=0. Pelo teste de Leibniz, isso garante que sum(-1)^n an converge para todo p>0.
Passo 4
Juntando os resultados: para p>tfrac12 a série converge absolutamente; para 0 ela não converge absolutamente mas, por ser alternada e satisfazer o teste de Leibniz, converge. Portanto, é condicional nesses casos.
Resposta
A série é absolutamente convergente se p>tfrac12 e condicionalmente convergente se 0.