Calcular o valor de a para que a função dada abaixo seja contínua em (0,0).
f(x, y)=cc (x^2+2 a cos (x+y))(x^2+y^2)raizx^2+y^2+1-1+sen(x^4+y^2)x^4+y^2 & se (x, y) neq(0,0) a^2+5 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras: uma quando não é e outra quando é exatamente . Queremos encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função em , que é .

Passo 2

Vamos calcular o limite de f(x, y) = (x^2 + 2a cos(x+y))(x^2 + y^2)raizx^2 + y^2 + 1 - 1 + sin(x^4 + y^2)x^4 + y^2 quando se aproxima de . A função é composta por duas partes:
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 3

Primeiro, consideramos a expressão:
(x^2 + 2a cos(x+y))(x^2 + y^2)raizx^2 + y^2 + 1 - 1
Para simplificar, percebemos que quando (x^2 + 2a)(x^2 + y^2)raizx^2 + y^2 + 1 - 1 se aproxima de raizx^2 + y^2 + 1 - 1 approx x^2 + y^22 , (x^2 + 2a)(x^2 + y^2)x^2 + y^22 = 2(x^2 + 2a) se aproxima de . Então, a expressão fica aproximadamente:
Agora, usamos a aproximação para quando é pequeno. Aqui, , então:
Substituindo na expressão, temos:
Quando se aproxima de , e tendem a zero, então essa parte se aproxima de .

Passo 4

Agora, analisamos a segunda parte da função:
sin(x^4 + y^2)x^4 + y^2
Sabemos que , então quando se aproxima de , essa expressão tende a 1.

Passo 5

Juntando as duas partes, o limite total da função é:
4a + 1
Para a função ser contínua em 4a + 1 = a^2 + 5 , esse limite deve ser igual ao valor da função em a^2 - 4a + 4 = 0 (a - 2)^2 = 0 a = 2 , ou seja:
Resolvendo essa equação quadrática:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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