Resolva o problema de valor inicial d y / d x + 2 x y = x, y(0) = -3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
Isso significa que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação e que, quando , . Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

A equação dada é uma equação diferencial linear da forma:
Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante , que nos ajudará a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Substituindo :
Esse fator irá multiplicar toda a equação diferencial, facilitando a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em:
A esquerda se tornou a derivada do produto , o que simplifica a integração.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada nos dá simplesmente . Do lado direito, fazemos a integração por substituição.

Passo 6

Para integrar , vamos usar a substituição , então ou :
Então, nossa equação fica:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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