Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
Isso significa que queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação e que, quando
,
. Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
A equação dada é uma equação diferencial linear da forma:
Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que nos ajudará a simplificar a equação.
Passo 3
O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Esse fator irá multiplicar toda a equação diferencial, facilitando a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em:
A esquerda se tornou a derivada do produto
, o que simplifica a integração.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada nos dá simplesmente
. Do lado direito, fazemos a integração por substituição.
Passo 6
Para integrar
, vamos usar a substituição
, então
ou
:
Então, nossa equação fica:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: