Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para f(x) e determine o raio de convergência.
(a) f(x) = (x^2 + 3) / (x + 2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de 0 e determinar o raio de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Podemos fazer uma divisão polinomial para isso.
Dividindo por :
Calculamos quantas vezes cabe em , o que dá . Multiplicamos por e subtraímos:
Repitamos para . cabe em exatamente vezes. Multiplicamos por e subtraímos:
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Queremos expressar isso como uma série de potências em torno de 0. Podemos reescrever essa expressão para facilitar a expansão:
Lembrando que a série geométrica converge quando .

Passo 4

Vamos adaptar a série geométrica para nossa expressão. Temos:
Multiplicando por :

Passo 5

Agora, juntamos tudo para obter a série de potências de :
Podemos simplificar a constante:

Passo 6

Para determinar o raio de convergência, observamos a série geométrica . A condição de convergência é:
Portanto, o raio de convergência é 2.

Resposta

A representação em série de potências para em torno de 0 é:
O raio de convergência dessa série é 2.

Exercícios relacionados