Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para e determine o raio de convergência.
(a) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de 0 e determinar o raio de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração . Podemos fazer uma divisão polinomial para isso.
Dividindo por :
Calculamos quantas vezes cabe em , o que dá . Multiplicamos por e subtraímos:
Repitamos para . cabe em exatamente vezes. Multiplicamos por e subtraímos:
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte . Queremos expressar isso como uma série de potências em torno de 0. Podemos reescrever essa expressão para facilitar a expansão:
Lembrando que a série geométrica converge quando .
Passo 4
Vamos adaptar a série geométrica para nossa expressão. Temos:
Multiplicando por :
Passo 5
Agora, juntamos tudo para obter a série de potências de :
Podemos simplificar a constante:
Passo 6
Para determinar o raio de convergência, observamos a série geométrica . A condição de convergência é:
Portanto, o raio de convergência é 2.
Resposta
A representação em série de potências para em torno de 0 é: