O custo da produção de x quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é C = f(x) dólares.
(a) Qual o significado da derivada f'(x) ? Quais são suas unidades?
(b) O que significa a afirmativa f'(50) = 36 ?
© Você acha que os valores de f'(x) irão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de custo , que representa o custo para produzir quilogramas de ouro numa nova mina. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada de uma função e como ela se aplica ao contexto do custo de produção.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a derivada . Em cálculo, a derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. No contexto do custo de produção, nos mostra como o custo está mudando quando a quantidade produzida de ouro aumenta ou diminui.

Passo 3

As unidades da derivada também são importantes. Como é medido em dólares e em quilogramas, a derivada terá unidades de dólares por quilograma ( ó). Isso significa que indica quanto o custo está aumentando ou diminuindo para cada quilograma adicional produzido.

Passo 4

Agora, vamos interpretar a afirmação . Isso quer dizer que, quando estamos produzindo 50 quilogramas de ouro, a taxa de variação do custo é de 36 dólares por quilograma. Ou seja, se aumentarmos a produção em uma unidade (um quilograma), o custo aumentará em 36 dólares naquele ponto específico.

Passo 5

Por último, vamos pensar sobre o comportamento de a curto e longo prazo. A taxa de variação pode crescer ou decrescer dependendo de como o custo de produção muda com a quantidade produzida. A curto prazo, é comum que os custos variem mais rapidamente devido a ajustes na produção, então pode estar crescendo ou diminuindo. A longo prazo, dependendo da eficiência da mina e das economias de escala, tende a estabilizar, possivelmente crescendo menos ou até diminuindo se houver melhorias na produção.

Resposta

a) A derivada representa a taxa de variação do custo em relação à quantidade produzida de ouro. Suas unidades são dólares por quilograma ( ó).
b) A afirmação significa que, quando a produção é de 50 quilogramas de ouro, o custo está aumentando a uma taxa de 36 dólares por quilograma.
c) A curto prazo, os valores de podem crescer ou decrescer dependendo das condições iniciais da produção. A longo prazo, espera-se que estabilize, possivelmente diminuindo se houver melhorias na eficiência da mina.

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