O custo da produção de
quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é
dólares.
(a) Qual o significado da derivada
? Quais são suas unidades?
(b) O que significa a afirmativa
?
© Você acha que os valores de
irão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique.
(a) Qual o significado da derivada
(b) O que significa a afirmativa
© Você acha que os valores de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de custo
, que representa o custo para produzir
quilogramas de ouro numa nova mina. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada de uma função e como ela se aplica ao contexto do custo de produção.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é a derivada
. Em cálculo, a derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. No contexto do custo de produção,
nos mostra como o custo está mudando quando a quantidade produzida de ouro aumenta ou diminui.
Passo 3
As unidades da derivada
também são importantes. Como
é medido em dólares e
em quilogramas, a derivada
terá unidades de dólares por quilograma (
). Isso significa que
indica quanto o custo está aumentando ou diminuindo para cada quilograma adicional produzido.
Passo 4
Agora, vamos interpretar a afirmação
. Isso quer dizer que, quando estamos produzindo 50 quilogramas de ouro, a taxa de variação do custo é de 36 dólares por quilograma. Ou seja, se aumentarmos a produção em uma unidade (um quilograma), o custo aumentará em 36 dólares naquele ponto específico.
Passo 5
Por último, vamos pensar sobre o comportamento de
a curto e longo prazo. A taxa de variação
pode crescer ou decrescer dependendo de como o custo de produção muda com a quantidade produzida. A curto prazo, é comum que os custos variem mais rapidamente devido a ajustes na produção, então
pode estar crescendo ou diminuindo. A longo prazo, dependendo da eficiência da mina e das economias de escala,
tende a estabilizar, possivelmente crescendo menos ou até diminuindo se houver melhorias na produção.
Resposta
a) A derivada
representa a taxa de variação do custo em relação à quantidade produzida de ouro. Suas unidades são dólares por quilograma (
).
b) A afirmação
significa que, quando a produção é de 50 quilogramas de ouro, o custo está aumentando a uma taxa de 36 dólares por quilograma.
c) A curto prazo, os valores de
podem crescer ou decrescer dependendo das condições iniciais da produção. A longo prazo, espera-se que
estabilize, possivelmente diminuindo se houver melhorias na eficiência da mina.