Questão 1. Considere a função: y=-x^412+23 x^3-32 x^2.
Determine os seguintes elementos da função:
  • Intervalos em que a função é crescente e intervalos em que é decrescente.
  • Intervalos em que o gráfico da função é côncavo para baixo e intervalos em que é convexo para cima.
  • Limites da função quando x tende aos extremos dos intervalos que constituem seu domínio.
  • Pontos críticos da função.
  • Pontos de máximo local e pontos de mínimo local.
  • Pontos em que o gráfico da função intercepta os eixos coordenados.
  • Pontos inflexão (pontos em que a derivada segunda muda de sinal).
  • Seu domínio.
    Trace o gráfico da função, de acordo com esses elementos, indicando na figura todos os elementos levantados anteriormente.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = -x^412 + 23x^3 - 32x^2
e pede: intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, limites em pminfty, pontos críticos, extremos locais, interseções com os eixos, pontos de inflexão e domínio. Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivada, resolver y'=0 e y''=0, e analisar sinais.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
y' = ddxl(-tfracx^412 + tfrac23x^3 - tfrac32x^2r) = -tfrac13x^3 + 2x^2 - 3x = -tfrac13,x,(x-3)^2
Os pontos onde y'=0 são x=0 e x=3.

Passo 3

Analisamos o sinal de y'=-tfrac13x(x-3)^2:
  • Para x<0, -x>0 e (x-3)^2>0 y'>0.
  • Para x>0, -x<0 e (x-3)^2>=0 y'<=0, com zero em x=3.
    Logo f é crescente em (-infty,0) e decrescente em (0,infty). Em x=0 há troca de sinal de y' de + para – ⇒ máximo local em (0,y(0)). Em x=3 não há troca de sinal, logo não é extremo.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada:
y'' = ddxl(-tfrac13x^3+2x^2-3xr) = -x^2 +4x -3 = -(x-1)(x-3)
As raízes de y''=0 são x=1 e x=3. Testando:
  • Para x<1, y''<0 ⇒ côncavo para baixo.
  • Para 1<x<3, y''>0 ⇒ convexo para cima.
  • Para x>3, y''<0 ⇒ côncavo para baixo.
    Assim há pontos de inflexão em x=1 e x=3.

Passo 5

Calculamos os valores da função nos pontos relevantes:
y(0)=0, y(1)=-tfrac112 + tfrac23 - tfrac32 = -tfrac1112, y(3)=-tfrac8112 + 18 - tfrac272 = -tfrac94
Portanto os pontos são (0,0), ponto de máximo local, e inflexões em l(1,-tfrac1112r) e l(3,-tfrac94r).

Passo 6

Para os interceptos com os eixos:
Resolver y=0
-tfracx^412 + tfrac23x^3 - tfrac32x^2 = x^2l(-tfracx^212+tfrac2x3-tfrac32r)=0
o fator quadrático não tem raízes reais, sobra x=0 (multiplicidade 2). Logo há apenas o ponto (0,0) como interseção com eixo x e y.

Passo 7

Calculamos os limites em pminfty. Como o termo dominante é -tfracx^412, temos
limxtopminftyy(x)=-infty

Passo 8

O domínio da função, por ser polinomial, é todo R.

Resposta

  • Crescimento: (-infty,0).
  • Decrescimento: (0,infty).
  • Côncavo para baixo: (-infty,1)cup(3,infty).
  • Convexo para cima: (1,3).
  • limxtopminftyy(x)=-infty
  • Pontos críticos: x=0 e x=3.
  • Máximo local em (0,0). Sem mínimo local.
  • Interceptos com eixos: (0,0).
  • Pontos de inflexão em l(1,-tfrac1112r) e l(3,-tfrac94r).
  • Domínio: R.

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