Questão 1. Considere a função:
.
Determine os seguintes elementos da função:
- Intervalos em que a função é crescente e intervalos em que é decrescente.
- Intervalos em que o gráfico da função é côncavo para baixo e intervalos em que é convexo para cima.
- Limites da função quando
tende aos extremos dos intervalos que constituem seu domínio.
- Pontos críticos da função.
- Pontos de máximo local e pontos de mínimo local.
- Pontos em que o gráfico da função intercepta os eixos coordenados.
- Pontos inflexão (pontos em que a derivada segunda muda de sinal).
- Seu domínio.
Trace o gráfico da função, de acordo com esses elementos, indicando na figura todos os elementos levantados anteriormente.
Determine os seguintes elementos da função:
Trace o gráfico da função, de acordo com esses elementos, indicando na figura todos os elementos levantados anteriormente.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, limites em
, pontos críticos, extremos locais, interseções com os eixos, pontos de inflexão e domínio. Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivada, resolver
e
, e analisar sinais.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada:
Os pontos onde
são
e
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
:
- Para
, e ⇒ . - Para
, e ⇒ , com zero em .
Logoé crescente em e decrescente em . Em há troca de sinal de de + para – ⇒ máximo local em . Em não há troca de sinal, logo não é extremo.
Passo 4
Calculamos a segunda derivada:
As raízes de
são
e
. Testando:
- Para
, ⇒ côncavo para baixo. - Para
, ⇒ convexo para cima. - Para
, ⇒ côncavo para baixo.
Assim há pontos de inflexão eme .
Passo 5
Calculamos os valores da função nos pontos relevantes:
Portanto os pontos são
, ponto de máximo local, e inflexões em
e
.
Passo 6
Para os interceptos com os eixos:
Resolver dá
Resolver
o fator quadrático não tem raízes reais, sobra
(multiplicidade 2). Logo há apenas o ponto
como interseção com eixo
e
.
Passo 7
Calculamos os limites em
. Como o termo dominante é
, temos
Passo 8
O domínio da função, por ser polinomial, é todo
.
Resposta
- Crescimento:
. - Decrescimento:
. - Côncavo para baixo:
. - Convexo para cima:
. -
- Pontos críticos:
e . - Máximo local em
. Sem mínimo local. - Interceptos com eixos:
. - Pontos de inflexão em
e . - Domínio:
.