(2,5) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}=(1,1, 2), \overrightarrow{\mathbf{x}}_{2}=(2,-1,2) e \overrightarrow{\mathbf{x}}_{3}=(3, m,-1) seja igual a 2 lu.v.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}=(1,1,2), \overrightarrow{\mathbf{x}}_{2}=(2,-1,2) e \overrightarrow{\mathbf{x}}_{3}=(3,m,-1),
e pede para achar m de modo que o volume do paralelepípedo por eles gerado seja 2 unidades de volume.
O volume é o módulo do produto escalar triplo, isto é, o módulo do determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores.

Passo 2

Vamos montar a matriz cujas linhas são os vetores e calcular seu determinante. Definimos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & 2\\\\ 3 & m & -1 \end{pmatrix}
e temos
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&2\m&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2&2\\\ 3&-1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2&-1\\\ 3&m\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1&2\m&-1\end{pmatrix} =(-1)\cdot(-1)-2\cdot m =1-2m,
\det\begin{pmatrix}2&2\\\ 3&-1\end{pmatrix} =2\cdot(-1)-2\cdot3 =-2-6 =-8,
\det\begin{pmatrix}2&-1\\\ 3&m\end{pmatrix} =2\cdot m-(-1)\cdot3 =2m+3.
Substituindo em \det(A), obtemos
\det(A) =1\cdot(1-2m) -1\cdot(-8) +2\cdot(2m+3) =(1-2m)+8+(4m+6) =2m+15.

Passo 4

O volume do paralelepípedo é
\bigl|\det(A)\bigr| =\bigl|2m+15\bigr|.
Queremos \bigl|2m+15\bigr|=2, o que leva às equações lineares
2m+15=2 \quad\text{ou}\quad 2m+15=-2.
Resolvendo cada uma:
se 2m+15=2 então 2m=-13 e m=-\tfrac{13}{2}.
se 2m+15=-2 então 2m=-17 e m=-\tfrac{17}{2}.

Resposta

m=-\tfrac{13}{2} ou m=-\tfrac{17}{2}

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