(2,5) Dados os vetores \overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2,3) \overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,1), determine um vetor \overrightarrow{\mathbf{w}} tal que
2(\stackrel{\rightharpoonup}{\mathbf{u}}-\stackrel{\rightharpoonup}{\mathbf{w}})+4(\stackrel{\rightharpoonup}{\mathbf{v}}+\stackrel{\rightharpoonup}{\mathbf{w}})=\mathbf{0} .

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \mathbf{u}=(-2,3) e \mathbf{v}=(2,1) e pede para encontrar um vetor \mathbf{w} que satisfaça
2\bigl(\mathbf{u}-\mathbf{w}\bigr)+4\bigl(\mathbf{v}+\mathbf{w}\bigr)=\mathbf{0}.
O conteúdo aqui é manipular combinações lineares de vetores para isolar \mathbf{w}.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão e agrupar os termos que envolvem \mathbf{w}:
2\mathbf{u}-2\mathbf{w}+4\mathbf{v}+4\mathbf{w}=\mathbf{0}.
Reescrevendo, temos
2\mathbf{u}+4\mathbf{v}+(-2\mathbf{w}+4\mathbf{w})=\mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad 2\mathbf{u}+4\mathbf{v}+2\mathbf{w}=\mathbf{0}.

Passo 3

Isolando \mathbf{w}, obtemos
2\mathbf{w}=-2\mathbf{u}-4\mathbf{v} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{w}=-\mathbf{u}-2\mathbf{v}.

Passo 4

Basta substituir \mathbf{u}=(-2,3) e \mathbf{v}=(2,1):
\mathbf{w} =-(-2,3)-2\,(2,1) =(2,-3)-(4,2) =(2-4,\,-3-2) =(-2,-5).

Resposta

O vetor procurado é \mathbf{w}=(-2,-5).

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