Exercício 3 O núcleo de uma matriz A_{m n} \in \mathbb{M}_{m n}(\mathbb{R}) é o conjunto
N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} ; A x=0\right\} .
(a) Mostre que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^{n}.
(b) Mostre que se os vetores colunas de A são L.I., então N(A)=\{0\}.
(c) Determine o núcleo da matriz
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define o núcleo de uma matriz A\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) como
N(A)=\{x\in\mathbb{R}^n\mid Ax=0\}.
Precisamos de três coisas:
  1. Mostrar que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^n.
  2. Mostrar que, se as colunas de A são linearmente independentes, então N(A)=\{0\}.
  3. Calcular explicitamente N(A) para
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 2

Para ver que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^n, verificamos três propriedades:
  • (zero) Como A0=0, tem-se 0\in N(A).
  • (soma) Se x,y\in N(A), então Ax=0 e Ay=0. Pela linearidade de A,
A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0,
logo x+y\in N(A).
  • (escala) Se x\in N(A) e \lambda\in\mathbb{R}, então
A(\lambda x)=\lambda\,Ax=\lambda\cdot0=0,
logo \lambda x\in N(A).
Essas três garantem que N(A) é subespaço.

Passo 3

Suponha que as colunas de A sejam linearmente independentes. Se x\in N(A), então Ax=0 é exatamente uma combinação linear das colunas de A igual a zero. Pela independência, essa combinação só pode ser trivial, ou seja, todos os coeficientes de x são zero. Logo x=0 e N(A)=\{0\}.

Passo 4

Para a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix},
o núcleo é o conjunto de (x_1,x_2,x_3) que satisfazem
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0,\\\\ 2x_1 + x_2 = 0. \end{cases}

Passo 5

Da segunda equação vem x_2=-2x_1. Substituindo na primeira:
x_1+(-2x_1)+x_3=0 \;\Longrightarrow\;-x_1+x_3=0 \;\Longrightarrow\;x_3=x_1.
Logo os vetores do núcleo são
(x_1,x_2,x_3)=(t,\,-2t,\,t)=t\,(1,-2,1),
com t\in\mathbb{R}.

Resposta

N(A)=\{\,t\,(1,-2,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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