Exercício 3 O núcleo de uma matriz A_{m n} \in \mathbb{M}_{m n}(\mathbb{R}) é o conjunto
N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} ; A x=0\right\} .
(a) Mostre que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^{n}.
(b) Mostre que se os vetores colunas de A são L.I., então N(A)=\{0\}.
(c) Determine o núcleo da matriz
Para ver que N(A) é subespaço de \mathbb{R}^n, verificamos três propriedades:
(zero) Como A0=0, tem-se 0\in N(A).
(soma) Se x,y\in N(A), então Ax=0 e Ay=0. Pela linearidade de A,
A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0,
logo x+y\in N(A).
(escala) Se x\in N(A) e \lambda\in\mathbb{R}, então
A(\lambda x)=\lambda\,Ax=\lambda\cdot0=0,
logo \lambda x\in N(A).
Essas três garantem que N(A) é subespaço.
Passo 3
Suponha que as colunas de A sejam linearmente independentes. Se x\in N(A), então Ax=0 é exatamente uma combinação linear das colunas de A igual a zero. Pela independência, essa combinação só pode ser trivial, ou seja, todos os coeficientes de x são zero. Logo x=0 e N(A)=\{0\}.