(2,5) Dados os vetores \overrightarrow{\mathbf{u}}=2 \mathbf{i}+\mathbf{j}+x \mathbf{k} ; \overrightarrow{\mathbf{v}}=(x+2) \mathbf{i}-5 \mathbf{j}+2 \mathbf{k} \mathbf{e} \overrightarrow{\mathbf{w}}=2 x \mathbf{i}+8 \mathbf{j}+x \mathbf{k}, determinar o valor de x para que o vetor (\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}) seja ortogonal ao vetor (\overrightarrow{\mathbf{w}}-\overrightarrow{\mathbf{u}}).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \overrightarrow{\mathbf{u}} = 2\,\mathbf{i} + \mathbf{j} + x\,\mathbf{k}, \overrightarrow{\mathbf{v}} = (x+2)\,\mathbf{i} - 5\,\mathbf{j} + 2\,\mathbf{k} e \overrightarrow{\mathbf{w}} = 2x\,\mathbf{i} + 8\,\mathbf{j} + x\,\mathbf{k},
e pede o valor de x para que
(\overrightarrow{\mathbf{u}} + \overrightarrow{\mathbf{v}}) \quad\text{seja ortogonal a}\quad (\overrightarrow{\mathbf{w}} - \overrightarrow{\mathbf{u}}).
Para vetores isso equivale a impor que o produto escalar seja zero.

Passo 2

Calculemos primeiro \overrightarrow{\mathbf{u}} + \overrightarrow{\mathbf{v}}. Somando componente a componente,
\overrightarrow{\mathbf{u}} + \overrightarrow{\mathbf{v}} = \bigl(2 + (x+2)\bigr)\,\mathbf{i} + (1 - 5)\,\mathbf{j} + (x + 2)\,\mathbf{k} = (x + 4)\,\mathbf{i} - 4\,\mathbf{j} + (x + 2)\,\mathbf{k}.

Passo 3

Agora calculemos \overrightarrow{\mathbf{w}} - \overrightarrow{\mathbf{u}}. Temos
\overrightarrow{\mathbf{w}} - \overrightarrow{\mathbf{u}} = \bigl(2x - 2\bigr)\,\mathbf{i} + (8 - 1)\,\mathbf{j} + (x - x)\,\mathbf{k} = (2x - 2)\,\mathbf{i} + 7\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}.

Passo 4

O produto escalar deve ser zero:
(\overrightarrow{\mathbf{u}} + \overrightarrow{\mathbf{v}}) \cdot (\overrightarrow{\mathbf{w}} - \overrightarrow{\mathbf{u}}) = (x + 4)(2x - 2) + (-4)\cdot 7 + (x + 2)\cdot 0 =0.
Isso dá a equação
(x+4)(2x-2) - 28 = 0.

Passo 5

Simplificando:
2(x+4)(x-1) - 28 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x+4)(x-1) = 14.
Expandindo e rearranjando:
x^2 + 3x - 4 = 14 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 3x - 18 = 0.
O discriminante é
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81,
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x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 \pm 9}{2},
isto é,
x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -6.

Resposta

Os valores de x que tornam \overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}} ortogonal a \overrightarrow{\mathbf{w}}-\overrightarrow{\mathbf{u}} são
x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -6.

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