Exercício 6 Obtenha [S]_{A \rightarrow B} e [S]_{B \rightarrow A} sendo
A=\{(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)\} \quad e \quad B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}

Passo 1

O enunciado pede as matrizes de mudança de base entre a base
A = \{(1,1,1),\,(-1,1,0),\,(1,0,-1)\}
e a base canônica
B = \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.
O conteúdo aqui é “mudança de base” usando a representação do operador identidade. Para obter [S]_{A\to B}, colocamos as coordenadas de cada vetor de A na base B como colunas de uma matriz; para [S]_{B\to A}, calculamos a inversa dessa matriz.

Passo 2

As coordenadas de (1,1,1), (-1,1,0) e (1,0,-1) na base canônica B são exatamente seus próprios componentes. Logo, a matriz de mudança de A para B é
[S]_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter [S]_{B\to A}, basta inverter [S]_{A\to B}. Primeiro, calculamos o determinante:
\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -3.
Em seguida, formamos a matriz adjunta e dividimos por -3. O resultado é
[S]_{B\to A} = \bigl([S]_{A\to B}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13\\\\ -\tfrac13 & \tfrac23 & -\tfrac13\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & -\tfrac23 \end{pmatrix}.

Resposta

[S]_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
\quad [S]_{B\to A} = \begin{pmatrix} \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13\\\\ -\tfrac13 & \tfrac23 & -\tfrac13\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & -\tfrac23 \end{pmatrix}.

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