Seja
uma base ortonormal de
e considere os vetores
e
satisfazendo
e
. Assinale a alternativa contendo as coordenadas na base
da projeção ortogonal de
na direção de
.
(a)
;
(6)
;
(c)
;
(d)
;
(e)
.
(a)
(6)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar as coordenadas na base
da projeção ortogonal do vetor
na direção de
. A gente está trabalhando com vetores em
e uma base ortonormal. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor em outro e entender como calcular o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a projeção ortogonal de
na direção de
é dada por:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Como estamos na base ortonormal
, as coordenadas dos vetores são:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Com esses resultados, podemos substituir na fórmula da projeção:
Isso significa que a projeção de
na direção de
é justamente o vetor
.
Resposta
A projeção ortogonal de
na direção de
tem coordenadas na base
iguais a
. Portanto, a alternativa correta é a (b)
.