Seja B uma base ortonormal de V^3 e considere os vetores v e w satisfazendo [w]B=(3,1,-1) e [v]B=(1,2,-1). Assinale a alternativa contendo as coordenadas na base B da projeção ortogonal de w na direção de v.
(a) 13(1,2,-1);
(6) (1,2,-1);
(c) (3,1,-1);
(d) (5,9,-14);
(e) 25(3,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar as coordenadas na base B da projeção ortogonal do vetor w na direção de v. A gente está trabalhando com vetores em R^3 e uma base ortonormal. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor em outro e entender como calcular o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a projeção ortogonal de w na direção de v é dada por:
projv(w) = ( w cdot vv cdot v ) v
Aqui, w cdot v é o produto escalar dos vetores w e v, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar w cdot v. Como estamos na base ortonormal B, as coordenadas dos vetores são:
w = (3, 1, -1) e v = (1, 2, -1)
Então,
w cdot v = 3 times 1 + 1 times 2 + (-1) times (-1) = 3 + 2 + 1 = 6

Passo 4

Agora, vamos calcular v cdot v:
v cdot v = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6

Passo 5

Com esses resultados, podemos substituir na fórmula da projeção:
projv(w) = ( 66 ) v = 1 times v = v
Isso significa que a projeção de w na direção de v é justamente o vetor v.

Resposta

A projeção ortogonal de w na direção de v tem coordenadas na base B iguais a (1, 2, -1). Portanto, a alternativa correta é a (b) (1,2,-1).

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