Calcular o valor de para que sejam coplanares as seguintes retas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de que faz com que duas retas sejam coplanares. Isso está ligado ao conteúdo de geometria analítica no espaço, mais especificamente sobre retas e planos. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas no espaço tridimensional e usar um pouco de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que nos foram dadas.
A reta está definida por:
Podemos reescrever essa reta na forma paramétrica. Vamos usar como parâmetro:
Então, a reta é dada por .
A reta está na forma simétrica:
Podemos também transformar essa equação na forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de :
Então, a reta é dada por .
Passo 3
Agora, para saber se as retas Pr Ps = Ps - Pr = (1 - 0, 0 - 3, 0 - (-1)) = (1, -3, 1) e são coplanares, precisamos verificar se existe um plano que contenha ambas as retas. Em termos de álgebra vetorial, isso significa que os vetores diretores das duas retas e o vetor que conecta um ponto de uma reta a um ponto da outra reta devem ser coplanares.
Vamos identificar os vetores diretores e os pontos nas retas:
Para a reta :
Vetor diretor:
Ponto na reta: (quando )
Para a reta :
Vetor diretor:
Ponto na reta: (quando )
O vetor que conecta a é:
Passo 4
A condição para que três vetores a cdot (b times c) = 0 , dr cdot (ds times Pr Ps) = 0 e sejam coplanares é que o produto misto deles seja zero:
No nosso caso, os vetores são , e . Então, precisamos calcular:
Vamos calcular o produto vetorial primeiro.
Passo 5
Calculando o produto vetorial ds = (2, -1, m) Pr Ps = (1, -3, 1) :
ds times Pr Ps = i & j & k 2 & -1 & m 1 & -3 & 1
= i cdot [(-1)(1) - (m)(-3)] - j cdot [(2)(1) - (m)(1)] + k cdot [(2)(-3) - (-1)(1)]
= i cdot (-1 + 3m) - j cdot (2 - m) + k cdot (-6 + 1)
= (-1 + 3m)i - (2 - m)j - 5k
ds times Pr Ps = (-1 + 3m, -2 + m, -5)
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar dr = (1, 2, 3) ds times Pr Ps = (-1 + 3m, -2 + m, -5) :
dr cdot (ds times Pr Ps) = (1)(-1 + 3m) + (2)(-2 + m) + (3)(-5)
= -1 + 3m -4 + 2m -15
= 5m -20
Passo 7
Para que as retas sejam coplanares, o produto escalar precisa ser igual a zero: