Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
a) matrizes [ll1 & 0 0 & a], com a in R;

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto de matrizes da forma [ll1 & 0 0 & a], onde a é um número real, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz os axiomas necessários para ser considerado um.

Passo 2

Primeiro, um espaço vetorial deve ser fechado em relação à adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes desse conjunto e somá-las, o resultado também deve pertencer ao mesmo conjunto. Vamos testar isso.

Passo 3

Pegamos duas matrizes do conjunto:
[ll1 & 0 0 & a] e [ll1 & 0 0 & b]
Sua soma é:
[ll1+1 & 0+0 0+0 & a+b] = [ll2 & 0 0 & a+b]
Para que essa matriz também pertença ao conjunto original, o elemento (1,1) deve ser 1. No entanto, na soma, esse elemento é 2, que não é igual a 1. Portanto, o conjunto não é fechado pela adição.

Passo 4

Além disso, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um número real k, temos:
k cdot [ll1 & 0 0 & a] = [llk & 0 0 & k cdot a]
Para que essa matriz pertença ao conjunto original, o elemento (1,1) deve ser 1. A menos que k = 1, isso não se mantém. Portanto, o conjunto também não é fechado pela multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto de matrizes [ll1 & 0 0 & a], com a in R, não forma um espaço vetorial porque não é fechado nem pela adição nem pela multiplicação por escalar, violando os axiomas de fechamento necessários para um espaço vetorial.

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