Se
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se os vetores
e
têm norma igual a 2 (ou seja,
), então o produto interno de
com
é igual a
. Vamos usar conceitos de produto interno e propriedades de normas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o produto interno
entre dois vetores
e
pode ser expandido usando distributividade. Vamos aplicar isso ao produto interno
.
Passo 3
Aplicando a distributividade do produto interno:
Passo 4
Sabemos que
porque o produto interno é comutativo. Então, podemos simplificar:
Passo 5
Os termos
e
se cancelam:
Passo 6
Sabemos que
e
. Substituindo os valores das normas:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
Portanto,
.