Se |u|=|v|=2, prove que lang<= u+alpha v, u-alpha vrang<==4(1-alpha^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se os vetores e têm norma igual a 2 (ou seja, ), então o produto interno de com é igual a . Vamos usar conceitos de produto interno e propriedades de normas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o produto interno entre dois vetores e pode ser expandido usando distributividade. Vamos aplicar isso ao produto interno .

Passo 3

Aplicando a distributividade do produto interno:
lang<= u + alpha v, u - alpha v rang<= = lang<= u, u rang<= - alpha lang<= u, v rang<= + alpha lang<= v, u rang<= - alpha^2 lang<= v, v rang<=

Passo 4

Sabemos que lang<= u + alpha v, u - alpha v rang<= = lang<= u, u rang<= - alpha lang<= u, v rang<= + alpha lang<= u, v rang<= - alpha^2 lang<= v, v rang<= porque o produto interno é comutativo. Então, podemos simplificar:

Passo 5

Os termos lang<= u + alpha v, u - alpha v rang<= = lang<= u, u rang<= - alpha^2 lang<= v, v rang<= e se cancelam:

Passo 6

Sabemos que lang<= u + alpha v, u - alpha v rang<= = |u|^2 - alpha^2 |v|^2 = 2^2 - alpha^2 cdot 2^2 e . Substituindo os valores das normas:

Passo 7

Calculando os valores:
lang<= u + alpha v, u - alpha v rang<= = 4 - 4alpha^2 = 4(1 - alpha^2)

Resposta

Portanto, .

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