Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
r:cx=-1 y=3 e s:ly=4 x-m z=x

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que as retas sejam coplanares em R^3. Duas retas são coplanares se, e somente se, o produto misto entre os vetores diretores de cada reta e o vetor ligador de um ponto de uma reta a um ponto da outra for zero.

Passo 2

Escrevemos as equações paramétricas de cada reta, extraindo um ponto e um vetor diretor.
A reta r é dada por x=-1, y=3 e z livre. Podemos escolher
A = (-1,3,0), u = (0,0,1)
A reta s tem x=t, y=4t - m, z=t. Tomando t=0 obtemos
B = (0,-m,0), v = (1,4,1)

Passo 3

O vetor ligador de A a B é
w = AB = B - A = (1,,-m-3,,0)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial e o produto misto:
v times w = (1,4,1)times(1,-m-3,0) = (m+3,,1,,-m-7),
u cdot (v times w) = (0,0,1)cdot(m+3,,1,,-m-7) = -m - 7
Para coplanar, impomos
-m - 7 = 0

Passo 5

Resolvendo -m - 7 = 0 obtemos
m = -7

Resposta

m = -7

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