Determine a posição relativa entre as retas:
r:lx=-2 m+3 y=m+3 z=3 m-3 e s: x-34=y-42=z+5-1.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre duas retas em R^3. Vamos usar conceitos de geometria analítica: extrair vetores diretores e pontos de cada reta, testar se os vetores diretores são proporcionais (paralelismo) e, caso não sejam, verificar se há solução comum nos parâmetros (interseção). Se falharem ambos, as retas são reversas.

Passo 2

Escrevendo cada reta em forma paramétrica padrão:
Para
temos ponto ) e vetor diretor
Para : seja . Então
temos ponto ) e vetor diretor

Passo 3

Testamos paralelismo verificando se existe k tal que v=k,w. Das componentes:
-2=4kimplies k=-tfrac12, 1=2kimplies k=tfrac12,
esses valores de k conflitantes mostram que v e w não são proporcionais. Logo, as retas não são paralelas.

Passo 4

Tentamos achar um ponto em comum resolvendo o sistema
-2m+3=4t+3, m+3=2t+4, 3m-3=-t-5
Da primeira equação vem -2m=4timplies m=-2t. Substituindo na segunda:
-2t+3=2t+4implies -4t=1implies t=-tfrac14, m=tfrac12
Na terceira:
3l(tfrac12r)-3=-t-5implies tfrac32-3=tfrac14-5implies -tfrac32neq -tfrac194,
inadmissível. Não há interseção.

Passo 5

Como não são paralelas e não se intersectam, conclui-se que as retas são reversas.

Resposta

As retas r e s são reversas (não paralelas e sem ponto de interseção).

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