Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
r: x-mm=y-4-3 ; z=6 e s:ly=-3 x+4 z=-2 x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
e
sejam coplanares em (\mathbb{R}^3]. Para isso vamos extrair uma direção e um ponto de cada reta e usar a condição de coplanaridade (produto misto nulo).

Passo 2

Parametrizando r. Seja t tal que
x-mm=t, y-4-3=t, z=6
Então
x=m,t+m, y=-3t+4, z=6
Uma direção de r é
vr=(m,,-3,,0),
e um ponto em r (tomando t=0) é
Pr=(m,,4,,6)

Passo 3

Parametrizando s. Seja u tal que
x=u, y=-3u+4, z=-2u
Então a direção de s é
vs=(1,,-3,,-2),
e um ponto em s (tomando u=0) é
Ps=(0,,4,,0)

Passo 4

O vetor que liga Pr a Ps é
PrPs=Ps-Pr=(0-m,;4-4,;0-6)=(-m,,0,,-6)

Passo 5

As retas são coplanares se e somente se o produto misto formado por vr, vs e PrPs for zero, ou seja
det m & -3 & 0 1 & -3 & -2 -m & 0 & -6 =0

Passo 6

Calculando a determinante por expansão na primeira linha:
det &= m-3 & -20 & -6 -(-3)1 & -2-m & -6 + 0 cdot (cdots) &= m,(18-0) + 3l(-6 - 2mr) = 18m + 3(-6 - 2m) = 18m - 18 - 6m = 12m - 18
Igualando a zero:
12m - 18 = 0 Longrightarrow m = tfrac32

Resposta

m=tfrac32

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