Calcule a distância entre as retas:
r:cx=2 y=3 z=4+3 t e s: eixo z

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em R^3:
a reta rcolon x=2,;y=3,;z=4+3t e o eixo z (reta scolon x=0,;y=0,;z livre).
O conteúdo é a distância entre retas paralelas em espaço, que podemos calcular tomando um ponto em cada reta e usando a fórmula
dist=|(P0-Q0)times d||d|,
onde d é um vetor diretor comum às duas retas.

Passo 2

Verificamos que a direção de r é dr=(0,0,3) e a direção de s (eixo z) é ds=(0,0,1). Como (0,0,3) é paralelo a (0,0,1), as retas são paralelas. Podemos então usar d=(0,0,3) na fórmula acima.

Passo 3

Escolhemos o ponto P0 em r para t=0, ou seja
P0=(2,3,4),
e um ponto Q0 em s, por exemplo a origem
Q0=(0,0,0)
Calculamos o vetor
P0-Q0=(2,3,4)

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial e as normas:
(P0-Q0)times d=(2,3,4)times(0,0,3) =(3cdot3-4cdot0,;4cdot0-2cdot3,;2cdot0-3cdot0) =(9,-6,0),
|(P0-Q0)times d|=raiz9^2+(-6)^2+0^2 =raiz81+36 =raiz117 =3raiz13,
|d|=|(0,0,3)|=3
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dist=3raiz133=raiz13

Resposta

raiz13

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