Nas CNTP ( 0^{\circ} \mathrm{C} e 1,00 \mathrm{~atm} ) o livre caminho médio dos átomos no hélio é 285 nm . Determine (a) o número de moléculas por metro cúbico e (b) o diâmetro efetivo dos átomos de hélio.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que se pede e o que foi dado):
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: T = 0^\circ\mathrm{C} = 273,15\\ \mathrm{K}.
    • Pressão: p = 1{,}00\\ \mathrm{atm} = 1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Livre caminho médio (mean free path): \lambda = 285\\ \mathrm{nm} = 285\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar o número de moléculas por metro cúbico (densidade numérica) n = N/V nas CNTP;
    (b) determinar o diâmetro efetivo d dos átomos de hélio, usando o valor de \lambda.

Passo 2

Como calcular n (parte a): usar a equação dos gases ideais na forma que relaciona número de partículas e temperatura:
pV = N k_B T,
onde
  • p é a pressão (em Pa),
  • V é o volume (em m^3),
  • N é o número de partículas no volume V,
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura (em K).
A densidade numérica é n=\dfrac{N}{V}. Isolando n da equação dos gases:
n=\frac{N}{V}=\frac{p}{k_B T}.
Aqui cada símbolo já foi explicado acima.

Passo 3

Cálculo numérico de n com todos os passos:
  • Calcular k_B T:
k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\times 273{,}15\\ \mathrm{K}.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
k_B T = 1{,}380649\times273{,}15\times10^{-23}\\ \mathrm{J} =377{,}12427435\times10^{-23}\\ \mathrm{J} =3{,}7712427435\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Agora:
n=\frac{p}{k_B T}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{3{,}7712427435\times10^{-21}}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Separando a razão numérica e a potência de dez:
n=\left(\frac{1{,}01325}{3{,}7712427435}\right)\times10^{5-(-21)}.
A divisão numérica dá aproximadamente 0{,}2688, e a potência é 10^{26}. Portanto
n\approx0{,}2688\times10^{26}=2{,}688\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Arredondando a três algarismos significativos:
n \approx 2{,}69\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Como relacionar \lambda e o diâmetro efetivo d (parte b): no modelo de esferas duras da teoria cinética, o livre caminho médio é dado por
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde \sigma é a seção de choque (área de dispersão) das partículas. Para esferas de diâmetro d,
\sigma=\pi d^{2}.
Substituindo,
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\pi d^{2}}.
Isolando d:
d^{2}=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\pi\,\lambda}, \qquad d=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\pi\,\lambda}}.
Aqui cada variável significa:
  • \lambda: livre caminho médio (m),
  • n: densidade numérica (m^{-3}),
  • \pi: constante geométrica (aprox. 3{,}14159265),
  • \sqrt{2}: raiz de 2 (aprox. 1{,}41421356),
  • d: diâmetro efetivo (m).

Passo 5

Cálculo numérico de d com todos os passos:
  • Primeiro calcule o fator \sqrt{2}\,\pi:
\sqrt{2}\,\pi \approx 1{,}41421356\times3{,}14159265 \approx 4{,}44288294.
  • Multiplicar por n:
\sqrt{2}\,\pi\,n \approx 4{,}44288294\times 2{,}688\times10^{25} \approx 1{,}1940\times10^{26}.
  • Multiplicar por \lambda (em metros):
\sqrt{2}\,\pi\,n\,\lambda \approx 1{,}1940\times10^{26}\times 285\times10^{-9} =1{,}1940\times285\times10^{17} \approx 340{,}29\times10^{17} =3{,}4029\times10^{19}.
  • Tomar o inverso:
\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\pi\,\lambda}\approx\frac{1}{3{,}4029\times10^{19}}\approx2{,}938\times10^{-20}.
  • Finalmente, a raiz quadrada:
d=\sqrt{2{,}938\times10^{-20}}\approx1{,}7147\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Escrevendo em unidades mais convenientes:
d\approx1{,}71\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}171\\ \mathrm{nm}=171\\ \mathrm{pm}.
Arredondando a três algarismos significativos:
d \approx 1{,}72\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}172\\ \mathrm{nm}=172\\ \mathrm{pm}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: o valor de n obtido é o número de moléculas por metro cúbico nas CNTP; o diâmetro obtido é um diâmetro efetivo de colisão (no modelo de esferas duras) e costuma ficar na ordem das centenas de picómetros para gases nobres como o hélio. Vai dar tudo certo na prova — respira e pratica mais uns exercícios parecidos!

Resposta

n = 2{,}69\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}
d = 1{,}72\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 0{,}172\\ \mathrm{nm} = 172\\ \mathrm{pm}

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