Nas CNTP (
e
) o livre caminho médio dos átomos no hélio é 285 nm . Determine (a) o número de moléculas por metro cúbico e (b) o diâmetro efetivo dos átomos de hélio.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que se pede e o que foi dado):
- Dados fornecidos:
- Temperatura:
. - Pressão:
. - Livre caminho médio (mean free path):
.
- Temperatura:
- O enunciado pede:
(a) determinar o número de moléculas por metro cúbico (densidade numérica)nas CNTP;
(b) determinar o diâmetro efetivodos átomos de hélio, usando o valor de .
Passo 2
Como calcular
(parte a): usar a equação dos gases ideais na forma que relaciona número de partículas e temperatura:
onde
-
é a pressão (em Pa), -
é o volume (em m^3), -
é o número de partículas no volume , -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura (em K).
A densidade numérica é
. Isolando
da equação dos gases:
Aqui cada símbolo já foi explicado acima.
Passo 3
Cálculo numérico de
com todos os passos:
- Calcular
:
Fazendo a multiplicação passo a passo:
- Agora:
Separando a razão numérica e a potência de dez:
A divisão numérica dá aproximadamente
, e a potência é
. Portanto
Arredondando a três algarismos significativos:
Passo 4
Como relacionar
e o diâmetro efetivo
(parte b): no modelo de esferas duras da teoria cinética, o livre caminho médio é dado por
onde
é a seção de choque (área de dispersão) das partículas. Para esferas de diâmetro
,
Substituindo,
Isolando
:
Aqui cada variável significa:
-
: livre caminho médio (m), -
: densidade numérica (m^{-3}), -
: constante geométrica (aprox. ), -
: raiz de 2 (aprox. ), -
: diâmetro efetivo (m).
Passo 5
Cálculo numérico de
com todos os passos:
- Primeiro calcule o fator
:
- Multiplicar por
:
- Multiplicar por
(em metros):
- Tomar o inverso:
- Finalmente, a raiz quadrada:
Escrevendo em unidades mais convenientes:
Arredondando a três algarismos significativos:
Passo 6
Interpretação curta e incentivo: o valor de
obtido é o número de moléculas por metro cúbico nas CNTP; o diâmetro obtido é um diâmetro efetivo de colisão (no modelo de esferas duras) e costuma ficar na ordem das centenas de picómetros para gases nobres como o hélio. Vai dar tudo certo na prova — respira e pratica mais uns exercícios parecidos!