Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:
(a) \vec{u}=(k,-2,1), \vec{v}=(1,0,2), \vec{w}= (k, k, 3)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o(s) valor(es) de k para que os vetores \vec{u}=(k,-2,1), \vec{v}=(1,0,2) e \vec{w}=(k,k,3) sejam coplanares.
Informações dadas: \vec{u}=(k,-2,1) \vec{v}=(1,0,2) \vec{w}=(k,k,3)
Passo 2
Explicação do critério que vamos usar (de forma didática): três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares quando são linearmente dependentes, isto é, quando um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma forma prática e simples de verificar isso é usar o produto misto (produto escalar do produto vetorial):
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
Esse produto misto é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares. Vou aplicar esse critério porque é direto de calcular com coordenadas e é um método básico que você pode usar na prova.
Passo 3
Escrevo o determinante correspondente ao produto misto com as linhas sendo \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
\begin{vmatrix} k & -2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\\ k & k & 3 \end{vmatrix} =0.
Aqui cada entrada é uma componente dos vetores: primeira linha = componentes de \vec{u}, segunda = de \vec{v}, terceira = de \vec{w}. O objetivo é calcular esse determinante em função de k e igualar a zero.
Passo 4
Calculo o determinante desenvolvendo pela primeira linha (explicando cada termo):
\begin{vmatrix} k & -2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\\ k & k & 3 \end{vmatrix} = k\cdot \begin{vmatrix} 0 & 2\\\ k & 3 \end{vmatrix} -(-2)\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\\\ k & 3 \end{vmatrix} +1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0\\\ k & k \end{vmatrix}.
Agora calculo cada menor 2×2:
\begin{vmatrix} 0 & 2\\\ k & 3 \end{vmatrix}=0\cdot3-2\cdot k=-2k,
\begin{vmatrix} 1 & 2\\\ k & 3 \end{vmatrix}=1\cdot3-2\cdot k=3-2k,
\begin{vmatrix} 1 & 0\\\ k & k \end{vmatrix}=1\cdot k-0\cdot k=k.
Passo 5
Substituo os menores no desenvolvimento:
\begin{aligned} \det &= k\cdot(-2k) -(-2)\cdot(3-2k) + 1\cdot k \\\ &= -2k^{2} + 2(3-2k) + k. \end{aligned}
Faço as multiplicações e simplifico termo a termo:
-2k^{2} + 2\cdot3 -2\cdot(-2k)?\text{ cuidado: já temos }2(3-2k)=6-4k,á
portanto
\det = -2k^{2} + 6 -4k + k = -2k^{2} -3k +6.
Igualando à condição de coplanaridade (determinante zero):
-2k^{2} -3k +6 = 0.
Passo 6
Resolvo a equação quadrática. Primeiro multiplico por -1 para ficar mais simples:
2k^{2} +3k -6 = 0.
Aplico a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \;ak^{2}+bk+c=0\; as raízes são
Interpretação final curta e motivadora: obtivemos duas soluções reais diferentes para k. Na prova, se você chegar ao determinante zero e resolver a quadrática com calma, sai o mesmo resultado. Se estiver com medo da raiz, lembre que \sqrt{57} é irracional, então deixe na forma radical como acima — é perfeitamente aceitável.